知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=
2
AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•珠海期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，边长AB=2，GE⊥平面ABCD，EF⊥ABCD，E，F分别是边AB、CD中点，AC与BD交于O，EG=FH=2，
（1）求证：AB⊥BH；
（2）求二面角C-OH-F的正弦值．

难度：中等

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3．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点，且满足B₁D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥AE；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDE的体积．

难度：中等

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4．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=2AB=4，AA1=2
2
，E是A₁D₁的中点．
（Ⅰ）在平面A₁B₁C₁D₁内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C₁到平面α的距离．

难度：中等

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

难度：中等

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6．（2015秋•河南校级期末）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：
①BC⊥PC；②OM∥平行APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中正确的命题为．

难度：较易

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7．

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，AB∥CD，∠DCB=90°，AB=AD=AA₁=2DC，Q为棱CC₁上一动点，过直线AQ的平面分别与棱BB₁，DD₁交于点P，R，则下列结论错误的是（　　）

A．对于任意的点Q，都有AP∥QR

B．对于任意的点Q，四边形APQR不可能为平行四边形

C．存在点Q，使得△ARP为等腰直角三角形

D．存在点Q，使得直线BC∥平面APQR

难度：较难

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8．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），AD∥BC，PD=
3
a，∠DAB=θ
（Ⅰ）若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；
（Ⅱ）若θ=90°，AB=
3
a，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA∥平面DMN．

难度：中等

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9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=2，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（Ⅲ）若AA₁=3，BP=a，且AP⊥A₁C，写出a的值（不需写过程）．

难度：中等

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10．（2015秋•潍坊校级期末）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求证：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=a，AB₁=
6
2
a，求三棱锥C-ABB₁的体积．

难度：中等

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