知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为平行四边形，
∠CAD=90°，EF∥BC，EF=
1
2
BC，AC=
2
，AE=EC=1．
（1）求证：CE⊥AF；
（2）若三棱锥F-ACD 的体积为
1
3
，求点D 到平面ACF 的距离．

难度：中等

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2．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G 分别为 AB、BB₁、B₁C₁ 的中点．
（1）求证：A₁D⊥FG；
（2）求二面角 A₁-DE-A 的正切值．

难度：中等

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3．已知P是△ABC所在平面外的一点，PA、PB、PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的心．

难度：较难

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4．（2015秋•汕头校级月考）如图，三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，即：PA⊥PB、PB⊥PC、PC⊥PA，且PO⊥平面ABC并交平面ABC于点O，请问点O是△ABC的什么心（内心、外心、垂心、重心、中心等）？并证明你的结论．

难度：中等

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5．（2015秋•晋江市校级期中）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求AC的长；
（2）证明：BC⊥PC；
（3）若PA=AB，求PC与平面PAD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求异面直线PA与OE所成角的大小．

难度：中等

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7．如图，正方形ABCD所在平面与△ABE所在平面垂直，AB=AE=2，∠EAB=90°，EC中点为F．
（1）求证：BF⊥DE
（2）求直线ED与平面EBC所成角．

难度：中等

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8．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长均为1，侧棱AA₁=2，M，N分别是A₁C₁，A₁A的中点，
（1）求
CN
的长；
（2）求cos＜
CA1
，
DC1
＞的值；
（3）求证：A₁C⊥D₁M．

难度：中等

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9．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，AB=AD，BC=CD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求证：四边形EFGH为矩形．

难度：中等

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10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD，求证：l∥AE．

难度：中等

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