知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA₁=6，点M时BB₁中点．
（1）求证；平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C；
（2）求点A到平面A₁MC的距离．

难度：中等

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2．（2015秋•海淀区期末）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；
（Ⅲ）求三棱锥P-ADE的体积．

难度：中等

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3．（2015秋•哈尔滨校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°．
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求点C₁到平面A₁CB的距离．

难度：中等

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4．（2015秋•吉安期末）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PA=AD，点E为AB中点，点F在线段PD上，且PF：FD=1：3．
（1）证明平面PED⊥平面FAB；
（2）若PD=4，求三棱锥P-FAB的体积．

难度：中等

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5．（2015秋•和平区期末）如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁是菱形，D为A₁C₁的中点，B₁C⊥A₁B．
（Ⅰ）求证：平面AB₁C垂直平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB₁=B₁C=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=1，DE=5．
（1）求棱锥C-ADE的体积；
（2）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（3）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出
EF
ED
的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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7．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形．AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=
5
．
（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；
（2）设M为线段EC上一点，且3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，线段CD的中垂线为AE，垂足为E，将△DAE沿AE翻折到△A′AE，此时点A′在平面ABCE上的射影恰为点E．
（1）若AE=
1
2
AB，求证：平面A′BC⊥平面A′AB；
（2）若直线A′C与平面A′AB所成的角小于30°，求AE的取值范围．

难度：中等

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9．如图，设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为菱形，A₁C与底面垂直．过点C作平面与四棱柱的侧棱垂直，且分别交A₁A于点E，交BB₁于点F，交DD₁于点G．
（1）证明：面A₁CC₁⊥面EFCG；
（2）证明：四边形EFCG为菱形．

难度：中等

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10．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥侧面BB₁C₁C，AC⊥CC₁．
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）若点M在棱AC上，且
AM
MC
=
2
3
，试问：在棱B₁C₁上是否存在一点N，使得直线MN∥平面ABB₁A₁？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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