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共50条信息

1．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）时，从“k到k+1”左边需增加的代数式是．

难度：中等

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2．用数学归纳法证明不等

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

11

24

(n∈N*)式的过程中，由n=k递推到n=k+1时，下列说法正确的是（　　）

A．增加了一项

1

2(k+1)

B．增加了两项

1

2k+1

和

1

2(k+1)

C．增加了B中两项，但又少了一项

1

k+1

D．增加了A中一项，但又少了一项

1

k+1

难度：较易

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3．数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁、a₂、a₃，并猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

难度：中等

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4．用数学归纳法证明1+2+2²+…+2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-1（n∈N^*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（　　）

A．1

B．1+2

C．1+2+2²

D．1+2+2²+2³

难度：较易

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5．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2ⁿ•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（　　）

A．2k+1

B．2（2k+1）

C． $\text{[math]}$

D． $\text{[math]}$

难度：中等

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6．用数学归纳法证明不等式

n+2

2

＜1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n

＜n+1（n＞1，n∈N^*）的过程中，当n=2时，中间式子为（　　）

A．1

B．1+

1

2

C．1+

1

2

+

1

3

D．1+

1

2

+

1

3

+

1

4

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+2a_n+1-9a_na_n+1=1（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由此猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法给出证明．

难度：中等

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8．已知f（n）=n²+n（n∈N₊），g（n）=2ⁿ（n∈N₊），试判断并证明f（n）与g（n）的大小关系．

难度：中等

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9．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）导函数）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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10．如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N⁺）的横坐标a_n和点A_n-1（a_n-1，0）（n＞0，n∈N⁺）横坐标a_n-1的关系式；
（3）根据（1）的结论猜想a_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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