知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
．

难度：中等

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2．求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

难度：较难

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3．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：
Sn+1
Sn
≤
3n+1
n
．

难度：较难

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4．在数列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=
an2
2(an-1)
(n∈N*)
（1）求证a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求证：k＜
ln
3
a
ln
3
4
+1．

难度：较难

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5．已知数列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+
xn
p+xn
(n∈N*，p是正常数)．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜
2
(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

难度：较难

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6．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

难度：较难

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7．已知数列{a_n}的通项公式为an=
n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
，n=2k(k∈N*).

设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．

难度：难

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8． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．证明：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜
1
6
an³．

难度：中等

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10．已知a_n=
12+22+32+…+n2
(n+1)n
n∈N*求证：a_n＜1．

难度：中等

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