知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=
1
2
an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

难度：较难

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2．是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

难度：较难

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4．用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N⁺）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a_n．
（1）试用数学归纳法证明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N^*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：
2
9
≤P≤
1
3
．

难度：较难

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5．设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-
m2
12
)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[
1
3
，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

难度：较难

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6．在数列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=
an2
2(an-1)
(n∈N*)
（1）求证a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求证：k＜
ln
3
a
ln
3
4
+1．

难度：较难

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7．已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．

难度：中等

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8．已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

难度：较难

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9．试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

难度：中等

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10．已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(
2
-1)|＜
1
2n
（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=
1
an
，求证：|bn-(
2
+1)|＜
12
2n
（n≥3，n∈N）．

难度：较难

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