知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为an=
1
n
，f(n)=
S2n，n=1
S2n-Sn-1，n≥2
．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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2．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；
（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}为等差数列，且有a₃-a₆+a₁₀-a₁₂+a₁₅=20，a₇=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{
1
S
2
n
}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有Tn≤
3
4
-
1
n+1
．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：对任意的n∈N^*有1+
n
2
≤S2n≤
1
2
+n成立．

难度：较难

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5．如图，已知曲线C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1）．设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=y_n-y_n+1．
（I）求a₁，a₂，a₃的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设△P_iQ_iQ_i+1（i∈N^*）和面积为Si，记f(n)=
n
i=1
Si，求证f(n)＜
1
6
.

难度：中等

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6．点P_n（x_n，y_n）在曲线C：y=e^-x上，曲线C在点P_n处的切线l_n与x轴相交于点Q_n（x_n+1，0），直线t_n+1：x=x_n+1与曲线C相交于点P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线l_n，t_n+1围成的图形面积记为S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）证明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：
Tn+1
Tn
＜
xn+1
xn
（n=1，2，3，…）．

难度：较难

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7．已知f（n）=1+
1
23
+
1
33
+
1
43
+…+
1
n3
，g（n）=
3
2
-
1
2n2
，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，x_n+1≤x_n的充要条件是x₁≥2
（Ⅲ）若x₁=4，记an=lg
xn+2
xn-2
，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

难度：较难

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9．已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知数列{a_n}极限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（将A用a表示）；
（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
对n=1，2，…都成立，求a的取值范围．

难度：较难

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10．设a＞2，给定数列{x_n}，其中x₁=a，xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
(n=1，2…)求证：
（1）x_n＞2，且
xn+1
xn
＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1，2…)．

难度：较难

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