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          共50条信息

            • 1．

              已知\((x+1)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)+a_{3}(x-1)^{3}+…+a_{n}(x-1)^{n}\)，\((\)其中\(n∈N^{*})\)

              \((1)\)求\(a_{0}\)及\({S}_{n}= \sum\nolimits_{i=1}^{n}{a}_{i} \)；

              \((2)\)试比较\(S_{n}\)与\((n-2)2^{n}+2n^{2}\)的大小，并用数学归纳法说明理由．

              难度：中等
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            • 2．

              用数学归纳法证明“对一切\(n∈N_{+}\)，都有\(2^{n} > n^{2}-2\)”这一命题，证明过程中应该验证的归纳奠基为\((\)    \()\)

              A．\(n=1\)时命题成立
              B．\(n=1\)，\(2\)时命题都成立
              C．\(n=3\)时命题成立
              D．\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时命题都成立
              难度：难
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            • 3．

              用数学归纳法证明不等式\( \dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+…+ \dfrac{1}{2n} > \dfrac{11}{24}(n∈N^{*})\)的过程中，由\(n=k\)递推到\(n=k+1\)时，下列说法正确       \((\)　　\()\)

              A．增加了一项\(\dfrac{1}{2k+2} \)
              B．增加了两项\(\dfrac{1}{2k+1}+ \dfrac{1}{2k+2} \)

                            
              C．增加了\(B\)中的两项，但又减少了一项\( \dfrac{1}{k+1}\)

              D．增加了\(A\)中的一项，但又减少了一项\( \dfrac{1}{k+1}\)
              难度：易
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            • 4．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，通项公式为\(a_{n}= \dfrac{1}{n}\)，且\(f(n)=\left\{\begin{matrix}S_{2n},n=1, \\ S_{2n}-S_{n-1},n\geqslant 2.\end{matrix}\right(\quad \quad)\)

              \((1)\)计算\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)的值；

              \((2)\)比较\(f(n)\)与\(1\)的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

              难度：较难
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            • 5．

              用数学归纳法证明：\(1+\dfrac{n}{2}\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}+n,(n\in {{N}^{*}})\)。

              难度：难
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            • 6．
              已知\(f(n)=1+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}}+…+ \dfrac {1}{ \sqrt {n}}(n∈N^{*})\)，\(g(n)=2( \sqrt {n+1}-1)(n∈N^{*})\)．
              \((1)\)当\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时，分别比较\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小\((\)直接给出结论\()\)；
              \((2)\)由\((1)\)猜想\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系，并证明你的结论．
              难度：中等
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=ax+ \dfrac {b}{x}+c(a > 0)\)，\(g(x)=\ln x\)，其中函数\(f(x)\)的图象在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(y=x-1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(a=1\)，求函数\(f(x)\)的解析式；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\geqslant g(x)\)在\([1,+∞)\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)证明：\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{n} > \ln (n+1)+ \dfrac {n}{2(n+1)}(n\geqslant 1)\)．
              难度：中等
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            • 8．

              已知\(f(n)=1+\dfrac{1}{{{2}^{3}}}+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{4}^{3}}}\cdots +\dfrac{1}{{{n}^{3}}}\)，\(g(n)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2{{n}^{2}}}\)，\(n\in {{N}^{*}}\)．

              \((1)\)当\(n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\)时，试比较\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系；

              \((2)\)猜想\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系，并给出证明．

              难度：较难
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            • 9．

              已知\(f(n)=1+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}}+···+ \dfrac{1}{ \sqrt{n}}(n∈{N}^{*}) \)，\(g(n)=2( \sqrt{n+1}-1)(n∈{N}^{*}) \)．

              \((1)\)当\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时，分别比较\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小\((\)直接给出结论\()\)；

              \((2)\)由\((1)\)猜想\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系，并证明你的结论．

              难度：较难
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            • 10． 已知\(f(n)=1+ \dfrac {1}{2^{3}}+ \dfrac {1}{3^{3}}+ \dfrac {1}{4^{3}}+…+ \dfrac {1}{n^{3}}\)，\(g(n)= \dfrac {3}{2}- \dfrac {1}{2n^{2}}\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)当\(n=1\)，\(2\)，\(3\)时，试比较\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系；
              \((2)\)猜想\(f(n)\)与\(g(n)\)的大小关系，并给出证明．
              难度：中等
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