知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的通项公式为an=
n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2
n
2
，n=2k(k∈N*).

设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．

难度：难

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2． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

难度：较难

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3．各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
对一切n∈N⁺恒成立．

难度：中等

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4．点P_n（x_n，y_n）在曲线C：y=e^-x上，曲线C在点P_n处的切线l_n与x轴相交于点Q_n（x_n+1，0），直线t_n+1：x=x_n+1与曲线C相交于点P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲线C和直线l_n，t_n+1围成的图形面积记为S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）证明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）记数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：
Tn+1
Tn
＜
xn+1
xn
（n=1，2，3，…）．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．证明：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜
1
6
an³．

难度：中等

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6．数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+
1
n2+n
）a_n+
1
2n
（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=
x+3
x+1
（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-
3
|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤
(
3
-1)n
2n-1
；
（Ⅱ）证明S_n＜
2
3
3
．

难度：中等

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8．已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知数列{a_n}极限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（将A用a表示）；
（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
对n=1，2，…都成立，求a的取值范围．

难度：较难

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9．已知a_n=
12+22+32+…+n2
(n+1)n
n∈N*求证：a_n＜1．

难度：中等

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10．设a＞2，给定数列{x_n}，其中x₁=a，xn+1=
x
2
n
2(xn-1)
(n=1，2…)求证：
（1）x_n＞2，且
xn+1
xn
＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1，2…)．

难度：较难

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