知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x-1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ln（1+x）（x＞0）．
（Ⅰ）证明：
x
1+x
＜f(x)；
（Ⅱ）比较2015²⁰¹³与2014²⁰¹⁴的大小；
（Ⅲ）给定正整数n（n＞2015），n个正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=1，
证明：(
x12
1+x1
+
x22
1+x2
+…+
xn2
1+xn
)2015＞(
1
2016
)n．

难度：较难

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3．已知非负实数满足x+y+z=1，则2xy+yz+2zx的最大值为．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=|x-m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]．
（1）求实数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a-2b+2c=m，求a²+b²+c²的最小值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=x|x-4|，
（Ⅰ）作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间[0，a]上最大值；
（Ⅲ）若函数f（x）在开区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别写出m、n的取值范围．

难度：较难

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6．已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求使
x1
x2
+
x2
x1
-2的值为整数的实数k的整数值．

难度：较难

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7．已知关于x的方程9^x-（4+a）•3^x+4=0有两个实数解x₁，x₂，则
x12+x22
x1x2
的最小值是．

难度：较难

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8． △ABC中，角A、B、C成等差数列．
①如果a，c是方程x²-8x+12=0两根，求b和三角形的面积．
②如果b=
3
，求c+2a的最大值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值；
（Ⅱ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两正根，且q＜
1
a
，证明：当x∈（0，P）时，f（x）＜p-a．

难度：较难

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10．（Ⅰ）试证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（m，n，a，b∈R）
（Ⅱ）已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y)2
+
1
(x-y)2
的最小值．

难度：较难

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