知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于
2
5
5
，且过点（1，
2
5
5
）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ₁
AF
，
MB
=λ₂
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．

难度：中等

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2．已知抛物线C：x 2=
1
2
y，直线y=kx+2交C于M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T．
（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；
（2）是否存在实数k使
TM
•
TN
=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．已知椭圆E：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

难度：较难

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4．已知抛物线：y²=2px，直线AB，CD过焦点F，与抛物线交于A，B，C，D，且AB⊥CD，∠AOB=90°．求证：
1
FA•
FB
+
1
FC
•
FD
为定值．

难度：中等

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5．（1）如图，G是△ABC的重心，求证：
GA
+
GB
+
GC
=
0
．
（2）在△ABC中，若
GA
+
GB
+
GC
=
0
，求证：G是△ABC的重心．

难度：较易

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6．已知a、b为正整数．设两直线1₁：y=b-
b
a
x与1₂：y=
b
a
x的交点为P₁（x₁，y₁），且对于n≥2的自然数，两点（0，b），（x_n-1，0）的连线与直线y=
b
a
x的交点为P_n（x_n，y_n）
（1）求P₁，P₂的坐标；
（2）猜想P_n的坐标公式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax+b（a≠0，a≠1）且y₁=f（f（x））与y₂=f（x）有交点P，求证：P点一定在曲线y=f（f（f（x）））上．

难度：中等

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8．椭圆焦点在x轴，离心率为
3
2
，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

难度：中等

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9．设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1两焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），点P为双曲线右支上除顶点外的任一点，∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求证：tan
α
2
•cot
β
2
=
c-a
c+a
．

难度：较难

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10．设P是双曲线
x2
4
-
y2
12
=1右分支上任意一点，F₁，F₂分别为左、右焦点，设∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β（如图），求证3tan
α
2
=tan
β
2
．

难度：较难

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