知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出P点位置，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

难度：中等

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2．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥BC，过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．
（1）求证：MN∥PE；
（2）设
AN
AP
=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

难度：中等

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4．如图，ABCD是块矩形硬纸板，其中AB=2AD=2
2
，E为DC中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求锐二面角B-AD-E的余弦值．

难度：中等

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5．已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，
（1）证明：BD⊥平面BCF；
（2）设二面角E-BC-D的平面角为α，求sinα；
（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．
（Ⅰ）证明：BF⊥AC；
（Ⅱ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求
DP
PC
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M-BQ-C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB₁上，且BD=
1
3
BB1，A₁C∩AC₁=E．
（Ⅰ）求证：直线DE与平面ABC不平行；
（Ⅱ）设平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=
7
7
，求AA₁的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面ADC₁∩平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值．

难度：中等

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9．（2011秋•越城区校级期中）如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1，线段AB的长为．

难度：中等

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10．如图，AD⊥CD，AC⊥BC，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点，平面ACD⊥平面ABC．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求二面角D-CM-A的正切值；
（3）求异面直线AC与BD成角的余弦值．

难度：中等

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