知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分别是AC和BB₁的中点．
（1）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．
（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面QMN⊥平面A₁B₁C，并求出BQ的长度．

难度：中等

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2．设平面α与向量
a
={-1， 2， -4 }垂直，平面β与向量
b
={ 2， 3， 1 }垂直，则平面α与β位置关系是．

难度：中等

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3．如图，已知△AOB，∠AOB=
π
2
，∠BAO=θ，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为
π
2
．
（Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ）当
π
2
∈[
2π
3
，θ]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

难度：中等

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5．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且FB=2DE=2．
（1）求证：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求四面体ACEF的体积．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，∠BCE=60°．
（1）证明：平面BAE⊥平面DAE；
（2）点P为线段AB上一点，求直线PE与平面DCE所成角的取值范围．

难度：中等

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7．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-CD-E的大小；
（3）求点E到平面B₁CD的距离．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．
①求证：平面ADE⊥平面ABE；
②求点C到平面ADE的距离．

难度：中等

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9．已知ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=1，BC=2，E为PC的中点，PA⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点E的坐标；
（2）能否在BC上找到一点F，使EF⊥CD？若能，请求出点F的位置，若不能，请说明理由；
（3）求证：平面PCB⊥平面PCD．

难度：中等

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10．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为
u
=（-1，0，5），
v
=（t，5，1），则t的值为．

难度：中等

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