知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
2
，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
（Ⅰ）当t=3
2
时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
AE
EP
的值；
（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

难度：中等

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2．设平面α的法向量为（1，2，-2），平面β的法向量为（-2，-4，k），若α∥β，则k= ．

难度：中等

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3．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

难度：中等

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4．如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=2，VC=
2
．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）求二面角V-AB-C的大小；
（3）求点C到平面VAB的距离．

难度：中等

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5．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．

难度：中等

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6．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）求证：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求直线AE一平面ABD所成角的正弦值；
（3）设BD=1，求点D到面ABC的距离．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E，F分别为棱
AB，PD的中点．
（ I）在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；
（ II）判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

难度：中等

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8．如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，在CC₁上求一点P，使面A₁B₁P⊥面C₁DE．

难度：中等

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B∥平面ADC₁；
（2）证明：平面ADC₁⊥平面BB₁C₁C．

难度：中等

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10．如图所示，已知△AOB中，∠AOB=
π
2
，AB=2OB=4，D为AB的中点，若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ．
（I）若θ=
π
2
，求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）若θ∈[
π
2
，
2π
3
]时，求二面角C-OD-B的余弦值的最小值．

难度：中等

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