知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；
（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

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3．求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

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4．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：
Sn+1
Sn
≤
3n+1
n
．

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5．设函数f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，ex-1＞
xn
n!
．

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6．在数列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=
an2
2(an-1)
(n∈N*)
（1）求证a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求证：k＜
ln
3
a
ln
3
4
+1．

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7．已知数列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+
xn
p+xn
(n∈N*，p是正常数)．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜
2
(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

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8．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

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9． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

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10．已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(
2
-1)|＜
1
2n
（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=
1
an
，求证：|bn-(
2
+1)|＜
12
2n
（n≥3，n∈N）．

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