知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A（0，-1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（-1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．

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2．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x-4y+1=0被圆M截得的弦长为2
3
，且圆心M在直线l的上方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-4≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．

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3．已知椭圆
x2
a2
+
y2
4
=1上一点到椭圆两焦点的距离之和为4
2
．
（Ⅰ）求a的值及椭圆的离心率；
（Ⅱ）顺次连结椭圆的顶点得到菱形A₁B₁A₂B₂，求该菱形的内切圆方程；
（Ⅲ）直线l与（Ⅱ）中的圆相切并交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围．

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4．已知点A、B的坐标分别是（0，-1）、（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-
1
2
．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（0，2）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

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5．已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线P的方程；
（2）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

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6．设M为抛物线y²=2x上的动点，定点m₀（-1，0），点P为线段m₀m的中点，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线．

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7．设数列{a_n}的前n项和S_n=na+n（n-1）b，（n=1，2，…），a、b是常数且b≠0．
（1）证明：以（a_n，
Sn
n
-1）为坐标的点P_n（n=1，2，…）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．
（2）设a=1，b=
1
2
，圆C是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），在（2）的条件下，求使得点P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围．

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8．如图，M（a，0）（a＞0）是抛物线y²=4x对称轴上一点，过M作抛物线的弦AMB，交抛物线与A，B．
（1）若a=2，求弦AB中点的轨迹方程；
（2）若AB=8，求a的取值范围．

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9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若
PQ
=
PM
+
PN
，则|
PQ
|的取值范围是．

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