知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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3．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm²/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率．

难度：中等

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4．

如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB．旋转过程中，OC交⊙M于P．记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S=f（x），那么f（x）的图象是下图中的（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：较难

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5．已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x₀，f（x₀））处的切线斜率k=（x₀-3）（x₀+1）²，则该函数的单调递增区间为．

难度：中等

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6．物体的运动方程是s=
1
3
t3+2t2-5则物体在t=3时的瞬时速度为．

难度：较难

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7．在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，即p（x）=kx+b（k≠0）．如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨．由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱．
（Ⅰ）求p（x），并说明放置多少个网箱时，总产量Q达到最高，最高为多少？
（Ⅱ）若鱼的市场价为
1
4
万元/吨，养殖的总成本为5lnx+1万元，则应放置多少个网箱才能使总收益y最高？（注：不必求出y的最大值）

难度：中等

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8． (
3 x
+
1
3 x2
)6的展开式中第4项的值是-40，则
lim
n→∞
(1+x+x2+…+xn)= ．

难度：中等

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9．质量为10kg的物体按s（t）=3t²+t+4m的规律作直线运动，则物体在运动4s时的瞬时速度是．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀∈（a，b），使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)”成立．
（1）利用这个性质证明x₀唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

难度：较难

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