知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求证：对任意的λ=（0，1]，都有AC⊥BE；
（Ⅱ）若二面角C-BE-A的大小为120°，求实数λ的值．

难度：中等

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2．设
a
={1，2，3}，
b
={-2，k，4}，试求常数k，使得
a
⊥
b
．

难度：较易

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3．设点A（-1，0，3），B（0，2，2），C（2，-2，-1），D（1，-1，1），求与
AB
，
CD
都垂直的单位向量．

难度：中等

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4．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长是a，用向量法证明AC⊥BD₁．

难度：较易

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5．在空间直角坐标系中，已知点A（-1，2，3），点B（2，1，3），点C在坐标平面xOy内，且在∠xOy的平分线上，若AB⊥BC，求C的坐标．

难度：中等

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6．设向量
a
=（3，5，-4），
b
=（2，1，8）．
（1）求2
a
+3
b
，3
a
-2
b
，
a
•
b
；
（2）若λ₁
a
+λ₂
b
与z轴垂直，求λ₁、λ₂满足的关系式．

难度：中等

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7．已知点A（0，1，0）、B（-1，0，-1）、C（2，1，1），若点P（x，0，z）满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．

难度：较易

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8．已知空间四点A（2，-1，1），B（3，1，2），C（6，3，1），D（3，-2，2），试证明：AD⊥平面ABC；并求点D到平面ABC的距离．

难度：较易

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9．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：
EF
，
AP
，
AD
共面；
（2）求证：EF⊥CD．

难度：较难

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10．用向量方法证明：已知四面体ABCD，若AB⊥CD，AD⊥BC，则AC⊥BD．

难度：中等

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