知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）
84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76
63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79
33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

人数数学

优秀良好及格

地理优秀 7 20 5

良好 9 18 6

及格 a 4 b

成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20+18+4=42．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀人数比及格人数少的概率．

难度：较易

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2．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额
支付方式不大于2000元大于2000元

仅使用A 27人 3人

仅使用B 24人 1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

难度：较易

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3．

已知某中学高三文科班学生共有$800$人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取$100$人进行成绩抽样调查，先将$800$人按$001$，$002$，$…$，$800$进行编号．

$(1)$如果从第$8$行第$7$列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的$3$个人的编号；$($下面摘取了第$7$行到第$9$行的数据$)$

$\left.\begin{matrix}84\;\;42\;\;17\;\;53\;\;31\;\;57\;\;24\;\;55\;\;06\;\;88\;\;77\;\;04\;\;74 \\ 47\;\;67\;\;21\;\;76\;\;33\;\;50\;\;25\;\;83\;\;92\;\;12\;\;06\;\;76\end{matrix}\right\} $第$7$行

$\left.\begin{matrix}63\;\;01\;\;78\;\;59\;\;16\;\;95\;\;55\;\;67\;\;19\;\;98\;\;10\;\;50 \\ 74\;\;75\;\;12\;\;86\;\;73\;\;58\;\;07\;\;44\;\;39\;\;52\;\;38\;\;79\end{matrix}\right\} $第$8$行

$\left.\begin{matrix}33\;\;21\;\;12\;\;34\;\;29\;\;78\;\;64\;\;56\;\;07\;\;82\;\;52\;\;42\;\;07 \\ 44\;\;38\;\;15\;\;51\;\;00\;\;13\;\;42\;\;99\;\;66\;\;02\;\;79\;\;54\end{matrix}\right\} $第$9$行

$(2)$抽取的$100$人的数学与地理的测试成绩如下表：

成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有$20+18+4=42$．

人数

数学

优秀

良好

及格

地理

优秀

$7$

$20$

$5$

良好

$9$

$18$

$6$

及格

$a$

$4$

$b$

$①$若在该样本中，数学成绩的优秀率是$30\%$，求$a$，$b$的值；

$②$在地理成绩及格的学生中，已知$a\geqslant 11$，$b\geqslant 7.$求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．

难度：较易

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4． 2016年10月21日，台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县（市、区）189.9万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图．
（Ⅰ）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望E（ξ）和方差D（ξ）．
经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计
捐款超过500元 60
捐款不超过500元 10
总计
附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
P（K²≥k₀） 0.050 0.010 0.001
k₀ 3.841 6.635 10.828

难度：较易

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5．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：

性别是否需要志愿	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（k²＞k）	0.0	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

难度：较易

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6．
$2016$年$10$月$21$日，台风“海马”导致江苏、福建、广东$3$省$11$市$51$个县$($市、区$)189.9$万人受灾，某调查小组调查了受灾某小区的$100$户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成$[0,2000]$，$(2000,4000]$，$(4000,6000]$，$(6000,8000]$，$(8000,10000]$五组，并作出频率分布直方图．
$($Ⅰ$)$台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的$100$户居民捐款情况如表所示，在表格空白处填写正确数字，并说明能否在犯错误的概率不超过$0.05$的前提下认为捐款数额超过或不超过$500$元和自身经济损失是否超过$4000$元有关？
$($Ⅱ$)$将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取$1$户居民，抽取$3$次，记被抽取的$3$户居民中自身经济损失超过$4000$元的人数为$ξ$，若每次抽取的结果是相互独立的，求$ξ$的分布列，期望$E(ξ)$和方差$D(ξ)$．

经济损失不超过$4000$元经济损失超过$4000$元总计

捐款超过$500$元 $60$

捐款不超过$500$元 $10$

总计

附：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$

$P(K^{2}\geqslant k_{0})$ $0.050$ $0.010$ $0.001$

$k_{0}$ $3.841$ $6.635$ $10.828$

难度：较易

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7．

某班同学利用国庆节进行社会实践，对$[25,55]$岁的人群随机抽取$n$人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	$[25,30)$	$120$	$0.6$
第二组	$[30,35)$	$195$	$p$
第三组	$[35,40)$	$100$	$0.5$
第四组	$[40,45)$	$a$	$0.4$
第五组	$[45,50)$	$30$	$0.3$
第六组	$[50,55]$	$15$	$0.3$

$(1)$补全频率分布直方图并求$n$，$a$，$p$的值；

$(2)$从年龄段在$[40,50)$的“低碳族”中采用分层抽样法抽取$6$人参加户外低碳体验活动，其中选取$2$人作为领队，求选取的$2$名领队中恰有$1$人年龄在$[40,45)$岁的概率．

难度：较易

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8．

为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了$500$位老年人，结果如表：

性别是否需要志愿	男	女
需要	$40$	$30$
不需要	$160$	$270$

$(1)$估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
$(2)$能否有$99\%$的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
$(3)$根据$(2)$的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由$.$附：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P(k^{2} > k)$	$0.0$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

难度：较易

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9．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．

难度：较易

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10．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．
（1）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样；
（2）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样．

难度：较易

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0/40

进入组卷

	经济损失不超过\(4000\)元	经济损失超过\(4000\)元	总计
捐款超过\(500\)元	\(60\)
捐款不超过\(500\)元		\(10\)
总计

\(P(K^{2}\geqslant k_{0})\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	\([25,30)\)	\(120\)	\(0.6\)
第二组	\([30,35)\)	\(195\)	\(p\)
第三组	\([35,40)\)	\(100\)	\(0.5\)
第四组	\([40,45)\)	\(a\)	\(0.4\)
第五组	\([45,50)\)	\(30\)	\(0.3\)
第六组	\([50,55]\)	\(15\)	\(0.3\)

性别是否需要志愿	男	女
需要	\(40\)	\(30\)
不需要	\(160\)	\(270\)

\(P(k^{2} > k)\)	\(0.0\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

人数		数学
人数		优秀	良好	及格
地理	优秀	7	20	5
	良好	9	18	6
	及格	a	4	b

支付金额支付方式	不大于2000元	大于2000元
仅使用A	27人	3人
仅使用B	24人	1人

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	总计
捐款超过500元	60
捐款不超过500元		10
总计