知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为A，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B．
（1）设函数f（x）=ax³-2（a-2）x²+（a-1）x（x＞0，a∈R）
①求证：当a=0时，f（x）∈A∩B；
②若f（x）∈A，且f（x）∉B，求实数a的取值范围．
（2）对定义在（0，+∞）上的函数f（x），若f（x）∈B，且存在常数k使得∀x∈（0，+∞），f（x）＜k，求证：f（x）＜0．

难度：较难

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4．（2016春•福州期中）已知函数f（x）=x|x-1|
（1）画出该函数的图象；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设0＜a＜1，求f（x）在[0，a]上的最大值．

难度：中等

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5．设h（x）=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=nin{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，则，f₂（x）=1，x∈[0，π]，
（理）当m=1时，设M（x）=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

难度：中等

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6．函数y=

-x2+2x+8

的单调递增区间是（　　）

A．（-∞，1）

B．（-2，1）

C．（1，4）

D．（1，+∞）

难度：中等

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7．已知a∈{x|(
1
3
)x-x=0}，则f(x)=loga(x2-2x-3)的增区间为．

难度：较难

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8．函数y=(
4
3
)-x2+2x-3的单调增区间．

难度：中等

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9．设函数f（x+1）=x²+2x，则f（x）的单调递减区间是．

难度：中等

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10．已知幂函数f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是偶函数且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx是单调函数，求m的取值范围．

难度：中等

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