知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）已知奇函数f（x）的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，0]上递减，求满足f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知f（x）为定义在[a-1，2a+1]上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e^x+1，则f（2x+1）＞f（
x
2
+1）的解x的取值范围．

难度：中等

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2．定义在R上的奇函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x-1）≥0的解集为．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
mx2+2
n-3x
的定义域上的奇函数，且f（2）=-
5
3
，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明
（Ⅲ）若g（2a）＞g（a-1）+2，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=
ax
x2+1
+bx2为奇函数，且f（1）=
1
2
．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义加以证明．

难度：中等

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5．已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+2^-x．
（1）试求f（x）的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，求实数t的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意0＜x₁＜x₂时，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，若关于x的不等式f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0的解集中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是．

难度：中等

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7．已知定义在实数集R上的函数f（x）又f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞0时f（x）＜0，f（2）=-1．
（1）求证：f（x）是在R上单调递减的奇函数；
（2）解不等式f（x²）-f（3x）≥1．

难度：中等

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8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁、x₂∈（0，+∞）都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
2x
4x+a

（1）若a=1，试证明函数f（x）为偶函数且在（-∞，0）上为增函数；
（2）若函数f（x）为奇函数，求a的值，并判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

难度：中等

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10．已知a＞0且a≠1，f（x）=ax-
1
ax

（1）判断函数f（x）是否有零点，若有求出零点；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性并用单调性定义证明．

难度：中等

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