知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定义域为R的函数f（x）=
-2x+1
2x+1+a
是奇函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（Ⅲ）若不等式f（2^x+1）+f（k•2^x+1+2k）＞0在区间[0，+∞）上有解，求实数k的取值范围．

难度：较难

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2．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0 时，有
f(m)+f(n)
m+n
＞0．
（1）求证：f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）求不等式f(x+
1
2
)＜f(1-x)的解集；
（3）若f(x)≤t2+t-
1
cos2α
-2tanα-1对所有x∈[-1，1]，α∈[-
π
3
，
π
4
]恒成立，求实数t的取值范围．

难度：较难

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3．已知f（x）=x -t2+2t+3为偶函数（t∈z），且在x∈（0，+∞）单调递增．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若函数g（x）=log_a[a
f(x)
-x]在区间[2，4]上单调递减函数（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=ln
x+1
x-1
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x²+x+3）+f（-2x²+4x-7）＞0；
（3）若函数g（x）=lnx-（x-1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N^*）的大小关系，并说明理由．

难度：较难

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5．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，且a+b≠0，有
f(a)+f(b)
a+b
＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式f（log₂x）＜f（log₄3x）的解集；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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6．已知幂函数y=f（x）经过点（2，
1
8
）．
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=
bx+c
ax2+1
是R上的奇函数（a，b，c∈Z），f(
1
2
)=
2
5
，f（2）＞
1
3
，
（1）求a，b，c的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明；
（3）判断f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上的单调性（不需要证明），并写出函数f（x）在R上的最值；
（4）利用单调性和奇偶性作出函数f（x）的草图．

难度：较难

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8．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递减函数；
（2）若f（log_0.5x）＞f（log_0.57），求x的取值范围．

难度：中等

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9．已知奇函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，且f（-2）=-1，f（1）=0，当x₁＞0，x₂＞0有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），求不等式log₂|f（x）+1|＜0的解集．

难度：中等

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10．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式．

难度：中等

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