知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x₁，x₂，使得x_if（x_i）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=
ex
a
具有性质P，则实数a的取值范围为．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）求证：f（-
a
2
+1）≤f（a²+
5
4
）；
（2）①求：f（1）+f（3）-2f（2）；
②求证：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于
1
2
．

难度：中等

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3．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；
（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；
（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．

难度：较难

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4．函数sinhx=
ex-e-x
2
称为“双曲正弦函数”，类似地，函数coshx=
ex+e-x
2
称为“双曲余弦函数”．
（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．

难度：中等

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5．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f(x)=
ax
ax+
a
( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+f(
3
10
)+…+f(
9
10
)的值；
（2）是否存在自然数a，使
a
f(n)
f (1-n)
＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较
1
4
n (n+1 )•lg3和lg（n！）（n∈N）的大小．

难度：较难

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