知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈（-∞，1]，（
1
a
）^x+（
1
b
）^x-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=
x•f(x)
2x(x2+1)
，试用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上单调递减．

难度：较难

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2．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函数g（x）=x³与h（x）=2^x-a是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=2ae^x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln
x
a
（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln
x
a
（a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是．

难度：较难

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4．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2^x-1，函数g（x）=x²-2x+m．如果对于∀x₁∈[-2，2]，∃x₂∈[-2，2]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数m的取值范围是．

难度：中等

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5．（文）已知函数f（x）=
-3x+a
3x+1+b

（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3^x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）是定义域为R的奇函数，求y=f（x）的解析式；
（3）若y=f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=a^X，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且h（x）=g[（a-1）x+2]．
（1）求h（x）的定义域；
（2）当x∈[3，4]时，h（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+mx．
（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log₄x）²+2log₂
1
x
+
4
m
-4）=1在区间[1，2
2
]上恰有两个不同的实数解，求m的范围．

难度：较难

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8．已知函数f₁（x）=e^|x-2a+1|，f₂（x）=e^|x-a|+1，x∈R，1≤a≤6．
（1）若a=2，求使f₁（x）=f₂（x）的x的值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）求函数g（x）=
f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
在[1，6]上的最小值．

难度：较难

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9．如图，函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象经过点A（2，
1
4
），函数g（x）=x²-bx（b＞0）
①设x∈[0，2]时，函数y=g（x）在y=f（x）的下方，在图中画出一个符合题意的函数y=g（x）的大致图象；
对所有符合题意的函数y=g（x），写出b的取值范围
②设函数f（x）的反函数为y=f^-1（x），若当x＞0时，函数y=f^-1（x）与y=g（x）至少要有一个函数的函数值为正实数，求b的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=3^x的图象过点（a+2，18）．
（1）求g（x）=3^ax-4^x的解析式；
（2）若函数g（x）的定义域为[0，1]，求g（x）的值域．

难度：中等

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