知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数f（x）=|lgx|-cosx的零点的个数为．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=lg
2x
ax+b
，f（1）=0，且f（2）-f（
1
2
）=lg2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数y=f（x）-lg（8x+m）的无零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）=1．
（1）当x∈（
1
2
，2）时，求μ（x+log₂x）的取值的集合；
（2）如函数f（x）=
μ(x)
x
-a(x＞0)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N⁺）上的值域为M_a，集合M_a中的元素个数为a_n，求证：

lin
n→+∞
an
n2+1
=
1
2
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=mlnx+x²．（m为常数）
（Ⅰ）当x∈[1，e]时，求函数y=f（x）的零点个数；
（Ⅱ）是否存在正实数m，使得对任意x₁、x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|
1
x1
-
1
x2
|，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知函数f(x)=
2-(
1
2
)x，x≤0
1
2
x2-x+1，x＞0
．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数n的取值范围．

难度：中等

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6．已知f（x）=
1
x
+
ex
e
-3，F（x）=lnx+
ex
e
-3x+2．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）判断函数F（x）在（0，+∞）上零点的个数．

难度：中等

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7．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x-a|+b．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；
（Ⅲ）若存在a∈[-3，0]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．

难度：较难

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8．已知f（x）=
1
4
sin（πx-
π
4
）cos（πx-
π
4
）+
3
4
cos²（πx-
π
4
）-
3
8
．
（Ⅰ）求y=f（x）的单调减区间及对称轴方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[0，
1
2
]上恰好有两个零点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=|x²-2x|+ax+a．
（1）当f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（2）当x∈R时，求函数的最小值g（a）．

难度：中等

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10．函数f（x）=2sinxsin（x+
π
2
）的零点个数为．

难度：较易

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