知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设命题p：∃x₀∈R，x₀²-2ax₀+2-a=0，命题q：∀x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1），如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x²+bx+c
（1）当b=2，c=-6时，求函数f（x）的不动点；
（2）已知f（x）有两个不动点为±
2
，求函数y=f（x）的零点；
（3）在（2）的条件下，求不等式f（x）＞0的解集．

难度：较难

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3．已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

难度：中等

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4．已知不等式x²-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
（1）求t，m的值；
（2）若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，求关于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

难度：中等

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5．已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

难度：中等

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6．已知a＞b＞c，a+b+c=0，方程ax²+bx+c=0的两个实根为x₁，x₂．
（1）证明：-
1
2
＜
b
a
＜1；
（2）若x₁²+x₁x₂+x₂²=1，求x₁²-x₁x₂+x₂²；
（3）求|x₁²-x₂²|取值范围．

难度：中等

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7．解方程：
（1）3×|2x-1|-1=5；
（2）|x-|2x+1||=3；
（3）|x-2|+|x+5|=6；
（4）|x-5|+
(4-x)2
=1．

难度：中等

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8．两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x²-（2k+3）x+3k²+1=0有实数根？
（2）设方程8x²-（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．

难度：较难

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9．两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x²-（2k+3）x+3k²+1=0有实数根？
（2）设方程8x²-（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．

难度：中等

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10．解方程式．

难度：中等

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