知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知集合Ω_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_i，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．∀X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈Ω_n，称x_i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ω_n，且满足如下两条性质：
①S中元素个数不少于4个；
②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；
则称S为Ω_n的一个好子集．
（1）S={X，Y，Z，W}为Ω₃的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；
（2）若S为Ω_n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2^n-1；
（3）若S为Ω_n的一个好子集，且S中恰有2^n-1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．

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3．（2016春•潍坊期中）如果函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y=f（x）在区间(-3，-
1
2
)内单调递增；
②函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
③函数y=f（x）的最小值是f（-2）和f（4）中较小的一个；
④函数y=xf′（x）在区间（-3，-2）内单调递增；
⑤函数y=xf′（x）在区间(-
1
2
，3)内有极值点；
则上述判断中正确的是．

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4．下列说法中所有正确的是
①“p∧q”为真的一个必要不充分条件是“p∨q”为真
②若p：
1
x
＞0，则￢p：
1
x
≤0
③若实数a，b满足
a
+
b
=1，则
1
2
≤a+b≤1
④数列{
2n
(2n+1)2
}（n∈N^*）的最大项为
2
9
．

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5．下列命题中，正确的序号是．
（1）存在x₀＞0，使得x₀＜sinx₀．
（2）若sinα≠
1
2
，则α≠
π
6
．
（3）“lna＞lnb”是“10^a＞10^b”的充要条件．
（4）若函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．

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6．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题：
①常值函数f（x）=a（a≠0）为回旋函数的充要条件是t=-1；
②若f（x）=a^x（0＜a＜1）为回旋函数，则t＞1；
③函数f（x）=x²不是回旋函数；
④若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x）在[0，4032]上至少有2016个零点．
其中为真命题的是．（写出所有真命题的序号）．

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7．下列四个命题：
①平面α∩β=l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则a，b中至少有一条与l相交．
②若a，b∈R，且a+b=3，则2^a+2^b的最小值为4
2
．
③若x∈R，则“复数z=（1-x²）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”必要不充分条件．
④正项数列{a_n}，其前n项和为S_n，若S_n=
1
2
（a_n+
1
an
），则 a_n=
n
-
n-1
．（n∈N₊）．
其中真命题有．（填真命题序号）

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8．某同学在研究函数f（x）=
x
1+|x|
（x∈R）时，得到一下四个结论：
①f（x）的值域是（-1，1）；
②对任意x∈R，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
③若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），则对任意的n∈N^*，f_n（x）=
x
1+n|x|
；
④对任意的x∈[-1，1]，若函数f（x）≤t²-2at+
1
2
恒成立，则当a∈[-1，1]时，t≤-2或t≥2，
其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）．

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9．若存在实数k和b，使得函数f（x）和g（x）对定义域内的任意x均满足：[f（x）-（kx+b）][g（x）-（kx+b）]≤0，且存在x₁使得f（x₁）-（kx₁+b）=0，存在x₂使得g（x₂）-（kx₂+b）=0，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“分界线”．在下列说法中正确的是（　　）

A．任意两个一次函数最多存在一条“分界线”

B．“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点

C．f（x）=x²-2x与g（x）=-x²+4的“分界线”是y=-x+2

D．f（x）=x²与g（x）=-（x-1）²的“分界线”是y=0或y=x-

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10．对于函数f（x）=
sinπx，x∈[0，2]
1
2
f(x-2)，x∈(2，+∞)
，有下列5个结论：
①任取x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；
③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N₊），对一切x∈[0，+∞）恒成立；
④函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；
⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x₁，x₂，则x₁+x₂=3．
则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）

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