知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)=2\sin x+\sin 2x$，则$f(x)$的最小值是 ______ ．

难度：难

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2．
已知函数$f(x)= \dfrac {1}{x}-x+a\ln x$．
$(1)$讨论$f(x)$的单调性；
$(2)$若$f(x)$存在两个极值点$x_{1}$，$x_{2}$，证明：$ \dfrac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} < a-2$．

难度：难

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3．
已知函数$f(x)=(2+x+ax^{2})\ln (1+x)-2x$．
$(1)$若$a=0$，证明：当$-1 < x < 0$时，$f(x) < 0$；当$x > 0$时，$f(x) > 0$；
$(2)$若$x=0$是$f(x)$的极大值点，求$a$．

难度：中等

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4．
已知函数$f(x)= \dfrac {ax^{2}+x-1}{e^{x}}$．
$(1)$求曲线$y=f(x)$在点$(0,-1)$处的切线方程；
$(2)$证明：当$a\geqslant 1$时，$f(x)+e\geqslant 0$．

难度：较易

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5．
已知函数$f(x)= \sqrt {x}-\ln x$．
$($Ⅰ$)$若$f(x)$在$x=x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$处导数相等，证明：$f(x_{1})+f(x_{2}) > 8-8\ln 2$；
$($Ⅱ$)$若$a\leqslant 3-4\ln 2$，证明：对于任意$k > 0$，直线$y=kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点．

难度：较易

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6．
若函数$f(x)=2x^{3}-ax^{2}+1(a∈R)$在$(0,+∞)$内有且只有一个零点，则$f(x)$在$[-1,1]$上的最大值与最小值的和为 ______ ．

难度：较易

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7．
已知函数$f(x)=ae^{x}-\ln x-1$．
$(1)$设$x=2$是$f(x)$的极值点，求$a$，并求$f(x)$的单调区间；
$(2)$证明：当$a\geqslant \dfrac {1}{e}$时，$f(x)\geqslant 0$．

难度：较易

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8．
已知函数$f(x)=e^{x}-ax^{2}$．
$(1)$若$a=1$，证明：当$x\geqslant 0$时，$f(x)\geqslant 1$；
$(2)$若$f(x)$在$(0,+∞)$只有一个零点，求$a$．

难度：较易

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9．已知函数 $f%28x%29%3D%282-a%29lnx%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%2B2ax%28a%E2%89%A40%29$ ．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．

难度：较易

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10．已知函数f（x）=sinx-ax．
（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）-sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；
（Ⅲ）求证： $ln%28n%2B1%29%EF%BC%9C1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn-1%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．

难度：中等

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