知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知O为坐标原点，向量
OA
=（3cosx，3sinx），
OB
=（3cosx，sinx），
OC
=（
3
，0），x∈（0，
π
2
）．
（1）求证：（
OA
-
OB
）⊥
OC
；
（2）若△ABC是等腰三角形，求x的值．

难度：中等

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2．（2015秋•上饶校级期中）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=DC=1，以D为圆心，DC为半径，作弧和AD交于点E，点P为劣弧CE上的动点，如图所示．
（1）求|
DA
+
DC
|；
（2）求
PA
•
PB
的最小值．

难度：中等

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3．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，且E为对角线AC上一点．
（1）求
AB
•
AD
；
（2）若
AE
=2
EC
，求
AE
•
AB
；
（3）连结BE并延长，交CD于点F，连结AF，设
CE
=λ
EA
（0≤λ≤1）．当λ为何值时，可使
AF
•
BF
最小，并求出
AF
•
BF
的最小值．

难度：中等

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4．（2015秋•绵阳月考）已知如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．
（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求
CD
•
CA
的值；
（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的最小值．

难度：中等

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5．如图，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于P，Q，若
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，令
AB
=
a
，
AC
=
b

（1）试用
a
，
b
表示
AG
；
（2）求证：
1
m
+
1
n
=3．

难度：中等

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6．如图：有一人在∠EOF=60°的V型码头内位于P点的一艘船上，要想到达O地上岸，现有三种方案：
①自P直接航行到O；
②自P与OE垂直航行到A点登陆，再由陆路乘车直达O；
③自P与OF垂直航行到B点登陆，再由陆路乘车直达O；
现已知陆路车速为船速的2倍，PA=2km，PB=5km，问：选择哪种方案用时最省？并通过计算加以说明．

难度：中等

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7． O为△ABC内一点，记x=S_△BOC，y=S_△AOC，z=S_△AOB，求证：x•
OA
+y
OB
+z
OC
=
0
．

难度：中等

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8．一轮渡向北以航速20km/h航行，此次吹来西方，风速5m/s，用作图法求轮渡的实际航行速度和方向．

难度：中等

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9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=
2
2
，BD=4，CD=6．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求边AC、AB的长．

难度：中等

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10．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．
OE
=k
OA
，
OF
=k
OB
，
OG
=k
OC
，
OH
=k
OD
．
（1）求证：四点E，F，G，H共面；
（2）平面AC∥平面EG．

难度：中等

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