知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•上海二模）已知正四面体A₁A₂A₃A₄，点A₅，A₆，A₇，A₈，A₉，A₁₀分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积
A1A2
•
AiAj
的不同数值的个数为．

难度：中等

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2．（2015秋•广州校级期末）如图，A，B，C的坐标分别为（-
c
2
，0），（
c
2
，0），（m，n），G，O′，H分别为△ABC的重心，外心，垂心．
（1）写出重心G的坐标；
（2）求外心O′，垂心H的坐标；
（3）求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

难度：中等

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3．如图所示，A、B、D、E四点在同一直线上，△ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为2的正方形，在静止状态时，B点在D点的左侧，且|
BD
|=1，让A点沿直线AB从左到右运动，当A点运动到E点时，运动结束．
（1）求在静止状态时，
BF
•
CE
的值；
（2）当A点运动时，求
BF
•
CE
的最小值．

难度：中等

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4．已知点G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，若
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
．证明：
1
λ
+
1
μ
为常数．

难度：中等

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5．（2015秋•松原期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧
DE
上变动（如图所示），若
AP
=λ
ED
+μ
AF
，其中λ，μ∈R．则2λ-μ的取值范围是．

难度：较难

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₂（1，0），O为坐标原点，点M（
2
3
，
2
6
3
）为椭圆C上的点．
（1）求C的方程：
（2）平面上的点N满足
MN
=
MF1
+
MF2
，直线1平行于MN且与椭圆C交于A、B两点，若
OA
•
OB
=0，求直线l的方程．

难度：中等

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7．已知△ABC内接于圆O：x²+y²=1（O为坐标原点），且3
OA
+4
OB
+5
OC
=0，
（1）求△AOC的面积；
（2）若∠xOA=-
π
4
，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为θ，判断θ的取值范围．
（3）在（2）的条件下，求C点的坐标．

难度：中等

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8．已知向量
a
=（-
1
2
，
3
2
），
OA
=
a
-
b
，
OB
=
a
+
b
，若△OAB是等边三角形，则△OAB的面积为．

难度：较易

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9．若非零向量
n
⊥直线l，则称
n
为l的法向量．
（I）已知直线l过点P₀（x₀，y_0），法向量
n
=（A，B），C=-（Ax₀+By₀），求1的方程；
（Ⅱ）已知点P₀（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²上，证明：过点P₀与该圆相切的切线方程为（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

难度：中等

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10．已知在△ABC中，存在唯一的点G，使得若
GA
+
GB
+
GC
=
0
，这个点G是△ABC的重心，那么在四边形ABCD中，是否存在唯一的点P，使得
PA
+
PB
+
PC
+
PD
=
0
？若存在，请证明，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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