知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
a
=（cos（-θ），sin（π+θ）），
b
=（cos（
π
2
-θ），sin（
π
2
-θ））．
（Ⅰ）求证
a
⊥
b
；
（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t²+3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．

难度：中等

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2．已知向量
OA
=（2，2），
OB
=（-4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当
PA
•
PB
取得最小值时，求
OP
的坐标；
（2）设∠APB=θ，当点P满足（1）时，求cosθ的值．

难度：中等

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3．平面直角坐标系中，

的坐标（　　）

A．与点B的坐标相同

B．与点B的坐标不相同

C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同

D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同

难度：较易

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4．在边长为1的正方形ABCD的CD边取一点E，使BC+CE=AE，F是DC的中点，试用平面向量的知识，证明：∠BAE=2∠FAD．

难度：中等

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5．设A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点，M为x轴正半轴上一点（A，O，B不共线）
（1）求证：
OA
+
OB
与
OA
-
OB
垂直
（2）当∠MOA=
π
4
，∠MOB=θ，θ∈（-
π
4
，
π
4
），且
OA
•
OB
=
3
5
时，求sinθ的值．

难度：中等

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6．已知
m
=（sinx，-1），
n
=（
3
cosx，-
1
2
），函数f（x）=
m
2+
m
•
n
-2
（1）求函数的单调增区间
（2）将函数f（x）的图象的横坐标扩大到原来的2倍，在向左平移
π
3
的单位，得到函数g（x），若△ABC的三边a，b，c所对的角为A，B，C，且三边a，b，c成等差数列，且g（B）=
3
2
，试求（cosA-cosC）²的值．

难度：中等

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7．设△ABC三条边的边长分别为a，b，c，对应的角分别为A，B，C
（1）设2b=a+c，且角B的取值集合为M，当x∈M时，求f（x）=sin（4x-
π
6
）的值域；
（2）设角B的平分线交边AC于D，且角B取（1）中的最大值（不含2b=a+c），
AD
=2
DC
，BD=4
3
，求其三边a，b，c的值．

难度：中等

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8．已知圆O：x²+y²=4．
（1）直线l₁：
3
x+y-2
3
=0与圆O相交于A、B两点，求|AB|；
（2）如图，设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M，点M关于x轴的对称点为M₂，如果直线=PM₁、PM₂与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．

难度：较难

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9． △ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c．向量
m
=（
3
sin2x，1），
n
=（1，3+cos2x），设函数f（x）=
m
•
n
．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若2
AC
•
BC
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=4，求b．

难度：中等

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10．已知三角形的重心为G，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a
.
GA
+
3
b
.
GB
+3c
.
GC
=0，则，sinA：sinB：sinC= ．

难度：较易

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