知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P是椭圆C：
x2
9
+y²=1上的动点，一定点Q（1，0）．有个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为．

难度：中等

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2．已知圆A：（x+1）²+y²=
49
4
，圆B：（x-1）²+y²=
1
4
，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，
（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）M､N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M､N的一点，求证k_PM．k_PN为定值；
（3）过B点作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别交曲线C于E､F､G､H，求四边形EGFH面积的取值范围．

难度：中等

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3．已知动点Q与两定点（-
2
，0），（
2
，0）连线的斜率的乘积为-
1
2
，点Q形成的轨迹为M．
（Ⅰ）求轨迹M的方程；
（Ⅱ）过点P（-2，0）的直线l交M于A、B两点，且
PB
=3
PA
，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C、D两点，过C、D两点分别作CE、DF垂直x轴于E、F两点，求四边形CEFD面积的最大值．

难度：中等

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4．已知椭圆x²+4y²=16，点M（2，1）．
（1）求椭圆的焦距和离心率；
（2）若直线l过点M与椭圆交于A，B两点，且点M是线段AB的中点，求直线l的方程．

难度：中等

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5．已知定点A（4，0），P是椭圆4x²+9y²=36上的动点，则线段AP的中点的轨迹方程是．

难度：较易

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6．在平面直角坐标系中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（
2
，0），离心率为
6
3
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线BD，AM的斜率分别为k₁，k₂，证明：存在常数λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值．

难度：中等

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7．已知A，B，D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），|AD|=2，点E是BD的中点．
（1）求E点轨迹方程；
（2）已知椭圆C中心在原点，以A，B为焦点，过A作直线交C于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
4
5
，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆C方程．

难度：中等

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8．已知点M（x，y）到定点（-2，0）与定直线x=-4的距离之比为
2
2
．
（1）求点M的轨迹方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）若直线l过（2，0）且与点M的轨迹交于点A、B，以AB为直径的圆恒过原点，求直线l的方程．

难度：中等

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9．已知△ABC中，A（-2，0），B（2，0），AC，AB，BC成等差数列．
（1）求顶点C的轨迹方程；
（2）若AC，BC边上的中线BF与AE的和为9，求△ABC重心G的轨迹方程．

难度：中等

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10．已知曲线C₁的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），且离心率等于
3
2
，曲线C₂的方程为x²+y²=8，若曲线C₁与C₂的四个交点围成面积为16的矩形．
（1）求曲线C₁的标准方程；
（2）若曲线C₁上总存在关于直线l：y=x+m对称的两点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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