知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=
1
3
BC=1，E为SD的中点．
（1）若F为线段BC上一点，且BF=
1
6
BC，求证：EF∥平面SAB；
（2）在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为
7
14
？若存在，求出BG的长度，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=
2
，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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4．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中点．
（1）求AB与平面AEC所成角的正弦值；
（2）若点F在线段PD上，二面角E-AC-F所成的角为θ，且tanθ=
2
2
，求
PF
FD
的值．

难度：中等

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5．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B为菱形，AA₁=4，AC=3，BC=B₁C=5，∠ABB₁=60°，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求直线AA₁与平面CB₁D所成角的正弦值．

难度：中等

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6．在五边形ABCDE中（图一），BD是AC的垂直平分线，O为垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC，P为AB的中点．沿对角线AC将四边形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC（图二）．
（1）求证：PE∥平面DBC；
（2）当AB=
2
AE时，求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，点P在底面ABCD上的射影为△ACD的重心，点M为线段PB上的点．
（1）当点M为PB的中点时，求证：PD∥平面ACM；
（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为
2
3
时，试确定点M的位置．

难度：中等

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8．如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=
1
3
DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求证：平面PAF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD=BC=
1
2
AB，∠ABC=
π
3
．
（Ⅰ）求证：△BCE为直角三角形；
（Ⅱ）若AE=AB，求CE与平面ADE所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2
3
的菱形，且∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2
6
，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）若
PQ
=
2
3
PC
，求直线AQ与平面AMN所成角的正弦值．

难度：中等

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