知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=
3
，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

难度：较难

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2．（2015秋•淄博校级期末）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，点M是线段EC的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（3）求平面BDM与平面ABF所成的角（锐角）的余弦值．

难度：中等

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3．如图，矩形CDEF所在的平面与矩ABCD所在的平面垂直，AD=
2
，DE=
3
，AB=4，
EG
=
1
4
EF
，点M在线段GF上（包括两端点），点N在线段AB上，且
GM
=
AN
，则二面角M-DN-B的平面角的取值范围为．

难度：较易

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4．在圆柱OO₁中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O₁（如图所示），AB=2，BC=
2
．
（1）设平面BEF与⊙O所在的平面的交线为l，平面ABE与⊙O₁所在的平面的交线为m，证明：l⊥m；
（2）求二面A-BE-F的余弦值．

难度：中等

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5．已知△ABC与△DBC都是边长为
2
3
3
的等边三角形，且平面ABC⊥平面DBC，过点A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（1）求直线PD与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角P-AD-C的余弦值；
（3）在线段PC上是否存在点E，使BE⊥平面ACD，并说明理由．

难度：较难

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6．如图，在四棱锥A-BCPE中，侧面PAC为正三角形，∠ACB=90°，二面角P-AC-B为直二面角，PE∥BC且
PE
CB
=μ（μ＞0），点M，N分别是侧棱AE、AP上的点，且
AM
AE
=
AN
AP
=λ（0＜λ＜1）
（1）若λ=
1
2
，BC=2PC，且异面直线CM与AB所成的角为90°，求实数μ的值；
（2）若平面ABC与平面CMN所成的锐二面角为45°，求实数λ的值．

难度：中等

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7．如图，矩形ACFE⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CF．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当点M在线段EF上运动时，求平面MAB与平面FCB所成锐二面角余弦的取值范围．

难度：中等

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8．如图，三棱锥C-ABD的棱AB在平面α内，棱CD在平面α外，平面CAB⊥平面α，点D在平面α内的射影为E，且满足EA⊥EB，AC=BC=EA=EB=2，DE=2
2
．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求二面角E-CD-B的正弦值．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求二面角P-BE-F的正切值．

难度：中等

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10．在棱长为1的ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，BC的中点，H在棱DD₁上．
（1）当H是DD₁的中点时，求二面角H-A₁C₁-E的余弦值；
（2）若直线A₁H与平面A₁C₁FE所成的角的正弦值为
3
17
17
，求DH的长．

难度：中等

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