知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知三棱柱\(.ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的侧棱与底面垂直，底面是边长为\(\sqrt{3}\)的正三角形\(.\)若\(P\)为底面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)的中心，\(PA\)与平面\(ABC\)所成角的大小为\(\dfrac{\pi }{3}\)，则棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的体积为( )

A．\(\dfrac{1}{4}\)

B．\(\dfrac{9}{4}\)

C．\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

D．\(\dfrac{2\sqrt{3}}{4}\)

难度：易

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2．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，侧面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，底面\(ABCD\)是平行四边形，\(∠ABC=45^{\circ}\)，\(AD=AP=2\)，\(AB=DP=2\sqrt{2}\)，\(E\)为\(CD\)的中点，点\(F\)在线段\(PB\)上．
\((1)\)求证：\(AD⊥PC\)；
\((2)\)当三棱锥\(B-EFC\)的体积等于四棱锥\(P-ABCD\)体积的\(\dfrac{1}{6}\)时，求\(\dfrac{PF}{PB}\)的值．

难度：中等

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3． \((\)本小题满分\(12\)分\()\)
如图，四棱锥\(P\)\(-\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(E\)为\(PD\)的中点．

\((1)\)证明：\(PB\)\(/\!/\)平面\(AEC\)；

\((2)\)设\(AP\)\(=1\)，\(AD\)\(=\) ，三棱锥\(P\)\(\)\(ABD\)的体积\(V\)\(=\)，求\(A\)到平面\(PBC\)的距离．

难度：难

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4．
如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面\(.\)圆柱的母线长为\(6\)，底面半径为\(2\)，求该几何体的表面积．

难度：难

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5．
已知正三棱柱的每条棱长均为\(a\)，圆柱的底面直径和高均为\(b.\)若它们的体积相等，则\(a^{3}∶b^{3}\)的值为____\(.\)

难度：较易

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6．
如图所示，在三棱锥\(P - ABC\)中，\(PA⊥\)底面\(ABC\)，\(D\)是\(PC\)的中点\(.\)已知\(∠BAC=\dfrac{\pi}{2}\)，\(AB=2\)，\(AC=2\sqrt{3}\)，\(PA=2\)．

\((1)\)求三棱锥\(P - ABC\)的体积\(;\)

\((2)\)求异面直线\(BC\)与\(AD\)所成角的余弦值．

难度：中等

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7．

各棱长都为\(1\)的正四棱锥体积为________．

难度：较易

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8．

已知三棱锥\(S-ABC\)外接球的直径\(SC=6\)，且\(AB=BS=SA=3\)，则三棱锥\(S-ABC\)的体积为

A．\(\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\)

B．\(\dfrac{9\sqrt{2}}{4}\)

C．\(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

D．\(\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\)

难度：中等

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9． \((\)本小题满分\(10\)分\()\)如图所示，在三棱柱中，平面，，，．

\((\)Ⅰ\()\)求三棱锥的体积；
\((\)Ⅱ\()\)若是棱的中点，为的中点，证明平行平面

难度：中等

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10．
如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧面\(AA_{1}C_{1}C⊥\)侧面\(ABB_{1}A_{1}\)，\(AC=AA_{1}= \sqrt {2}AB\)，\(∠AA_{1}C_{1}=60^{\circ}.AB⊥AA_{1}\)，\(H\)为棱\(CC_{1}\)的中点，\(D\)为\(BB_{1}\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A_{1}D⊥\)平面\(AB_{1}H\)；
\((\)Ⅱ\()AB= \sqrt {2}\)，求三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的体积．

难度：较易

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