知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015春•上海校级期中）正三棱锥P-ABC的侧面是底边长为a，顶角为30°的等腰三角形．过点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上．
（1）如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；
（2）△AEF周长的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．（2015秋•绍兴校级期中）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB=3
2
，AC=3，∠CAB=90°，P、Q分别为棱BB₁、CC₁上的点，且BP=
1
3
BB₁，CQ=
2
3
CC₁．
（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小．
（2）在线段A₁B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC₁最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．一个几何体的三视图及部分度量值如图所示，其中，正视图与侧视图都是由一个正方形和一个等腰三角形组成，俯视图是一个圆．
（1）判断该几何体的结构特征，并求其表面积；
（2）如果正视图中的点P是其所在线段的中点，点Q是其所在正方形的顶点，试求：在原几何体的侧面上，从P点到Q点的最短路径的长．

难度：中等

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4．圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，上底面一条半径OA与下底面一条半径O′B′成60°角，求：
（1）直线AB′与圆柱的轴OO′所成的角（用反三角函数值表示）；
（2）直线AB′与平面OAA′O′所成角的大小；
（3）点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

难度：中等

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5．圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，上底面一条半径OA与下底面一条半径O′B′成60°角，求：
（1）线段AB′的长；
（2）直线AB′与圆柱的轴OO′所成的角（用反三角表示）；
（3）点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

难度：中等

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6．如图，在正三棱柱中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与棱AA₁的交点记为M，求：
（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及
A1M
AM
的值；
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）．

难度：较难

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7．如图，已知圆台的上下底面半径分别为1cm和3cm，母线长为8cm，P是母线MN的中点，由M出发，沿圆台侧面绕一周到达点P，求经过的最短路程．

难度：中等

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8．圆锥的底面半径为10cm，高为20
2
cm，△SAB为轴截面，点C位母线SB中点，一动点从点A出发在侧面上运动到点C，求最短路程．

难度：较易

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9．如图，在长方体中，AB=b，BC=c，CC₁=a，且a＞b＞c，求沿着长方体表面A到C₁最短路线长．

难度：较易

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10．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为60°的扇形，求：
（1）圆锥的全面积和体积；
（2）一质点从圆锥底面圆一点A出发，绕圆锥侧面运动在回到A点所经过的最近距离．

难度：中等

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