知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若AB=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．

难度：较难

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2．若空间中四条两两不同的直线l₁，l₂，l₃，l₄，满足l₁∥l₂，l₃⊥l₁，l₄⊥l₂，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l₃⊥l₄

B．l₃∥l₄

C．l₃，l₄既不平行也不垂直

D．l₃，l₄的位置关系不确定

难度：较难

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3．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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4．已知α、β、γ是三个平面，α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c
（1）若a∩b=O，求证：a、b、c三线共点；
（2）若a∥b，试判断直线a与直线c的位置关系，并证明你的判断．

难度：较难

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5．

在棱长均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BB₁的中点，F在AC₁上，且DF⊥AC₁，则下述结论：①AC₁⊥BC；②AF=FC₁；③平面DAC₁⊥平面ACC₁A₁，其中正确的个数为（　　）

B．1

C．2

D．3

难度：较难

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6．（2015秋•福州校级期末）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①B，E，F，C四点共面；
②直线BF与AE异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD；．
⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．
其中正确的有．（请写出所有符合条件的序号）

难度：较难

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7．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面A₁B₁C₁，四边形AA₁B₁B是矩形，A₁C₁=A₁B₁，∠B₁A₁C₁=120°，BC∥B₁C₁，B₁C₁=2BC．
（1）求证：A₁C⊥B₁C₁；
（2）当二面角C-AC₁-B₁的正切值为2时，求
AA1
A1B1
的值．

难度：较难

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8．（2011秋•庐阳区校级月考）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下结论：
①AA₁⊥MN；
②MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN与A₁C₁异面；
④点B₁到面BDC₁的距离为
3
3
；⑤若点M、N分别为线段AB₁、BC₁的中点，则由线MN与AB₁确定的平面在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁上的截面为等边三角形．其中有可能成立的结论为．

难度：较难

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9．将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，AC=
6
；
⑤AC垂直于截面BDE．

难度：较难

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10．如图，异面直线AB，CD互相垂直，CF是它们的公垂线段，且F为AB的中点，作DE
∥
.
CF，连接AC、BD，G为BD的中点，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE内是否存在一点H，使得AC∥GH？若存在，求出点H所在的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求G-ACD的体积．

难度：较难

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