知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设矩阵M=
a 0
0 b
（其中a＞0，b＞0）．
（1）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：
x2
4
+y²=1，求a，b的值；
（2）若a=2，b=3，
a
=
1
2
，求M³
a
．

难度：中等

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2．若二阶矩阵M满足：M
1 2
3 4
=
5 8
4 6
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）若曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

难度：较难

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3．已知a，b∈R，若矩阵A=
-1 a
b 3
所对应的变换T_A把直线l：2x-y=3变换为它自身．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

难度：较难

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4．若矩阵M=
a 0
-1 2
把直线l：x+y-2=0变换为另一条直线l′：x+y-4=0，试求实数a值．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．
（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．

难度：较难

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6．在平面直角坐标系xOy中，设圆x²+y²=1在矩阵A=
1 0
0 2
对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．

难度：中等

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7．已知a，b∈R，矩阵A=
-a 1
2 b
所对应的变换将直线x+y-1=0变换为自身．
①求a，b的值；
②求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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8．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量
a1
=
1
1
，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量
a2
=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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9．二阶矩阵A，B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示．
（Ⅰ）请写出一个满足条件的矩阵A，B；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，计算C=BA，并求出曲线x-y-1=0在矩阵C对应的变换作用下的曲线方程．

难度：中等

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10．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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