知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设f（x）∈M，且T=2，已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．

难度：较难

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3．设f（x）是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f（x+2）=-
1
f(x)
，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）的周期函数；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式．

难度：中等

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4．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=
1
f(x)
，若x∈[2，3]时，f（x）=x．
（1）求证：f（x）为周期函数；
（2）求f（5.5）的值．

难度：中等

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5．已知偶函数y=f（x）的定义域为R，且对任意实数x，恒有f（
1
2
+x）=f（
1
2
-x），当x∈[0，
1
2
]，f（x）=（x-
1
2
）²．
（1）求证：f（x）为周期函数；
（2）当x∈R时，求f（x）的解析式；
（3）解不等式f（sinx）＜f（cosx）．

难度：中等

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6．若函数f（x）的定义域为R，且对-切实数x，都有f（-x）=f（x），且f（2+x）=f（2-x），试证明f（x）为周期函数．并求出它的一个周期．

难度：中等

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7． f（x）是周期为2的连续函数．
（1）证明对任意实数都
∫
t+2
t
f（x）dx=
∫
2
0
f（x）d（x）
（2）证明g（x）=
∫
x
0
[2f（t）-
∫
t+2
t
f（s）ds]dt是周期为2的周期函数．

难度：中等

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8．已知m为非零常数，对x∈R，有f（x+m）=
1+f(x)
1-f(x)
恒成立，则函数f（x）的最小正周期是．

难度：较易

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9．已知奇函数f（x）是以4为周期的周期函数，则f（2）= ．

难度：较易

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10．若函数f（x）满足对任意实数x∈R都有f（x+1）=-f（x），试判断f（x）是否为周期函数．

难度：较易

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