知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）-2f（
x
2
）≤k恒成立，求k的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

难度：较难

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3．已知f（x）=1-
2
2x+1
，g（x）=2sin（2x-
π
6
）．
（1）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（2）对任意x₁∈（0，1），总存在x₂∈[-
π
4
，
π
6
]，使不等式f（x₁）-m•2 x1＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f(x)=lg(
4-x
4+x
)，其中x∈（-4，4）
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（-4，4）上的单调性；
（3）是否存在这样的负实数k，使f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．

难度：中等

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5．设函数f（x）=
-x2-4x
，g（x）=
4
3
x+1-a
（1）求f（x）的值域；
（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，求a值；
（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=b•a^x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，
1
6
），B（3，
1
24
）．
（1）求f（x）
（2）若不等式（
1
a
）^x+（
1
b
）^x-m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=
x2
2x-2
，如果数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

难度：中等

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8．已知f（x）=|x+1|
（1）解不等式f（x+3）-f（x-1）≥2；
（2）若m＞0，不等式2m-3≥f（mx）-mf（x）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=-x²-ax．
（1）若a=-2，设函数F（x）=
g(x)，x≤0
f(x)，x＞0
，若|F（x）|≥mx恒成立，求m的取值
（2）若函数G（x）=xf（x-1）+ag（x）+a²x有两个极值点，x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：G（x₁）＜0，G（x₂）＞-
1
2
．

难度：中等

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10．已知定义在（-∞，3]上单调减函数f（x）使得f（1+sin²x）≤f（a-2cosx）对一切实数x都成立，求a的取值范围．

难度：中等

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