知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f（2^x）=
5
4
，求x的值；
（3）若-1≤b＜0，且对任意x∈[0，1]不等式 f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明g(x)=(
1
4
)x是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=
S2n
S2n-1
，若C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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3．设函数f（x）=|x-a|+|x-2|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤14的解集；
（2）若f（x）≥a²对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=3ⁿ+5，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=6，b_n=2ⁿ（n∈N^*）且λa_n＞2ⁿ+n+2λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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5．已知不等式|x+2|+|x-2|＜18的解集为A．
（1）求A；
（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+
4
x
+m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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6．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x+1．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ（x），当-1≤x≤1时，φ（x）=f（x），试求φ（x）在闭区间[2015，2016]上的表达式，并证明φ（x）在闭区间[2015，2016]上单调递减；
（3）设h（x）=x²+2mx+m²-m+1（其中m为常数），若h（g（x））≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

难度：较难

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7．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x+1．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；并求f（x）在区间[0，+∞）的反函数；
（3）设h（x）=x²+2mx+m²-m+1（其中m为常数），若h（g（x））≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f(x)= |2x-2-2|（x∈R）．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），S_n为{a_n}的前n项和，对任意的n≥4，不等式Sn+
1
2
≥kan恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=2^x-
1
2x
．
（Ⅰ）若2′f（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=2^2x+2^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=x²+
2
bx+1
+a是偶函数．
（1）若在定义域上f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2mx+2m-a-1，若方程g（x）=0在（-1，2）上有且只有一正实数根，求实数m的取值范围．

难度：中等

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