知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lg（x+1）-lg（x-1）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域，判断并用定义证明其在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（a^2x-2a^x）＜lg2．

难度：中等

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2．已知f（x）=
2x-1
2x+1
(x∈R)．
（1）证明f（x）是奇函数；　　　
（2）证明f（x）是增函数．

难度：较易

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3．已知函数f(x)=x+
k
x
且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=x-
1
x
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于
11a-2
2a
，求a的取值范围．

难度：中等

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5．函数f（x）=|x+1|+|x+a|是偶函数，则实数a的值为．

难度：中等

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6．已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(
1
2n
，
1
2n-1
]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

难度：较难

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7． [理]已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（
1
an-n+1
）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

难度：较难

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8．证明：若2^-x-2^y＞lnx-1n（-y）（x＞0，y＜0），则x+y＜0．

难度：中等

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9．设a为实数，f（x）=a-
2
2x+1
．
（1）求a的值，使f（x）的图象关于原点对称；
（2）上述函数是否具有单调性，如果具有单调性，试求出单调区间并加以证明，如果没有单调性，说明理由．

难度：较易

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10．已知函数y=f（x）=3^x+
x-2
x+1
．
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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