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          共50条信息

            • 1． 设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
              （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；
              （Ⅱ）已知x1=
              		e
              （e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e
              3
              2
              ．
              难度：中等
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            • 2． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
              f(b)-f(a)
              b-a
              ．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
              f(x1)-f(x2)
              x1-x2
              (x-x1)+f(x1)              ，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 3． 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=logπ3•f（logπ3），c=log3
              1
              9
              •f（log3
              1
              9
              ），则a，b，c大小关系是（　　）
              A．b＞a＞c
              B．a＞b＞c
              C．a＞c＞b
              D．b＞c＞a
              难度：较难
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            • 4． f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＜0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（　　）
              A．af（b）＜bf（a）
              B．af（b）＞bf（a）
              C．af（a）＞bf（b）
              D．af（a）＜bf（b）
              难度：中等
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            • 5． 已知函数f（x）=lnx-ax+
              1-a
              x
              -1              （a∈R）．
              （Ⅰ）当a＜
              1
              2
              时，讨论f（x）的单调性；
              （Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N+，且n≥2，证明：不等式
              1
              f(2)
              +
              1
              f(3)
              +…+
              1
              f(n)
              ＞
              3
              4
              -
              2n+1
              2n(n+1)
              ．
              难度：中等
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            • 6． 已知定义在R上的函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（30.3）f（30.3），b=（logπ3）．f（logπ3），c=(log3
              1
              9
              )f(log3
              1
              9
              )              则a，b，c的大小关系是（　　）
              A．a＞b＞c
              B．c＞b＞a
              C．c＞a＞b
              D．a＞c＞b
              难度：较难
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            • 7． 已知函数f（x）=ax3+bx2+c（a，b，c∈R，a≠0）的图象过点P（-1，2）且在P处的切线与直线x-3y=0垂直．
              （Ⅰ）若c=0，试求函数f（x）的单调区间；
              （Ⅱ）若a＞0，b＞0且f（x）在区间（-∞，m）及（n，+∞）上均为增函数，试证：n-m＞1．
              难度：中等
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            • 8． 已知f（x）=3-4x+2xln2，数列{an} 满足：-
              1
              2
              ＜a1＜0，21+an+1=f（an） （n∈N*）
              （1）求f（x）在[-
              1
              2
              ，0]上的最大值和最小值；
              （2）用数学归纳法证明：-
              1
              2
              ＜an＜0；
              （3）判断an与an+1（n∈N*）的大小，并说明理由．
              难度：中等
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            • 9． 已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=
              p
              x
              +x2
               (p∈R)
              ．
              （1）求函数f（x）的单调递增区间；
              （2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f'（x）＜1，则不等式f（x2）＜x2+1解集    ．
              难度：较难
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