已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{3}=0\)，\(S_{5}=-5\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{\)\(\}\)的前\(n\)项和．

已知 \(\{{a}_{n}\} \) 为等差数列，前\(n\)项和为 \(S_{n}(n\)\(∈N*\)\()\) ，\(\{{b}_{n}\} \) 是首项为\(2\)的等比数列，且公比大于\(0\)， \(b_{2}+b_{3}=12\) ， \(b_{3}=a_{4}-2a_{1}\) ， \(S_{11}=11b_{4}\) ．

\((\)Ⅰ\()\)求 \(\{{a}_{n}\} \) 和 \(\{{b}_{n}\} \) 的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)求数列 \(\{a_{2n}b_{2n-1}\}\) 的前\(n\)项和 \((n\)\(∈N*\)\()\) ．

在数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)中，已知\(a_{1}=0\)，\(a_{2}=1\)，\(b_{1}=1\)，\(b_{2}=\dfrac{1}{2}\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且满足\(S_{n}+S_{n+1}=n^{2}\)，\(2T_{n+2}=3T_{n+1}-T_{n}\)，其中\(n\)为正整数．

\((1)\) 求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式．

\((2)\) 问：是否存在正整数\(m\)，\(n\)，使得\(\dfrac{T_{n{+}1}\mathrm{{-}}m}{T_{n}\mathrm{{-}}m} > 1+b_{m+2}\)成立\(?\)若存在，求出所有符合条件的有序实数对\((m,n);\)若不存在，请说明理由．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项之和为\({{S}_{n}}\)满足\({{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-2\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

 \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\left\{ (2n-1)\cdot {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

设\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若不等式\({{n}^{2}}a_{n}^{2}+4S_{n}^{2}\geqslant \lambda {{n}^{2}}a_{1}^{2}\)对任意等差数列\(\{a_{n}\}\)及任意正整数\(n\)恒成立，则\(λ\)的最大值为________．

已知数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=1\)，且\(16{b}_{n+1}={b}_{n}(n∈{N}^{*}) \)，设数列\(\left\{ \sqrt{{b}_{n}}\right\} \)的前\(n\)项和是\(T_{n}\) ．

\((1)\)比较\({{T}_{n+1}}^{2} \)与\({T}_{n}·{T}_{n+2} \)的大小；

\((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=2n^{2}+2n+2\)，数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=a_{n}+\log _{d}b\)_{n\((d > 0,d\neq 1) \)}，求\(d\)的取值范围，使得数列\(\{c_{n}\}\)是递增数列．

等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(b_{n}=a_{n}+(-1)^{n}\ln a_{n}\)，求数列的\(2n\)前项和\(S2_{n}\)．