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          共50条信息

            • 1． 已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足
              a1=1
              |an+1-an|=2
              ，
              b1=-1
              |
              bn+1
              bn
              |=2
              ，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．
              （1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．
              （2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck-1，称数列{cn}为“k坠点数列”．
              ①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn．
              ②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 2． 设数列{an}的所有项都是不等于1的正数，{an}的前n项和为Sn，已知点Pn(an，Sn)，n∈N*在直线y=kx+b上（其中常数k≠0，且k≠1）数列，又bn=log
              1
              2
              an              ．
              （1）求证数列{an}是等比数列；
              （2）如果bn=3-n，求实数k、b的值；
              （3）若果存在t，s∈N*，s≠t使得点（t，bs）和（s，bt）都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，当n＞M（n∈N*）时，an＞1恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 3． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+2，n∈N*．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）若a1，a2分别是等差数列{bn}的第2项和第4项，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：1≤
              n
              i=1
              1
              Ti
              ＜2．
              难度：中等
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            • 4． Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
              （I）求{an}的通项公式：
              （Ⅱ）设bn=
              1
              anan+1
              ，求数列{bn}的前n项和．
              难度：中等
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            • 5． 定义：对于数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．
              （1）设an=2n-1，bn=qn（-1＜q＜0），n∈N*，判断数列{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
              （2）已知“p-摆动数列”{cn}满足：cn+1=
              1
              cn+1
              ，c1=1．求常数p的值；
              （3）设dn=(-1)n•( 2n-1)，n∈N*，且数列{dn}的前n项和为Sn．求证：数列{Sn}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
              难度：较难
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            • 6． 已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2．数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              3
              anan+1
              ，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
              m
              2016
              对所有的（n∈N*）都成立的最小正整数m．
              难度：中等
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            • 7． 已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=
              1
              2
              ，2Sn+1=Sn+
              1
              2n
              （n∈N*）．根据上述条件可归纳出这个数列的通项公式为an=    ．
              难度：较易
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            • 8． 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件：Sn+an=
              n2+1
              n2+n
              ．
              （1）求a1、a2、a3的值；
              （2）猜测数列{an}的通项公式，并给出证明；
              （3）求
              lim
              n→∞
              n2an．
              难度：中等
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            • 9． 三个数学爱好者各自出题给对方做．
              甲出的题目是：（1）证明不等式
              x
              1+x
              ＜ln（1+x）＜x，x＞0；
              乙出的题目是：（2）在数列{an}中，已知a1=
              1
              2
              ，且
              anan-1
              an-1-an
              =1+
              1
              n2-n-1
              ，求数列{an}的通项公式an；
              丙看完后出的题目是：在（2）中，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：-1+lnn＜Sn≤
              1
              2
              +lnn．
              难度：中等
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            • 10． 设数列{an}的前n项和为Sn．且a1+2a23a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n∈N*）．
              （1）求a1，a2的值；
              （2）求证：数列{Sn+2}是等比数列；
              （3）求数列{an}的通项公式．
              难度：中等
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