知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

难度：较难

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2．设各项均为正数的数列{a_n}满足
Sn
an
=pn+r（p，r为常数），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{a_n}是等差数列；
（2）若p=
1
3
，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a₂₀₁₅=2015a₁，求p•r的值．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n+1，n∈N^*，a₁=a＞0．
（1）求a₂，a₃，a₄的值并猜出{a_n}的通项公式；
（2）求证，分别以a₂，a₃，a₄为边的三角形不可能是直角三角形．

难度：中等

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4．设各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4Sn=(an+1)2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为bn=
an
an+t
（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列{a_n}中的三项an1，an2，an3．

难度：较难

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5．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设
u
=（4，S₂），
v
=（4k，-S₃），若
u
∥
v
，求实数k的值．

难度：中等

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7．数列{a_n}满足a1=
1
2
，an+1=
1
2-an
（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
n+2
2
；
（III）证明：
n
2
-(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
)＜ln
n+1
．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=
n
n-1
a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=
3n-1
an
（n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=
an+1
n+1
（n∈N^*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：较难

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9．已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为k_n=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列{A_n}的横坐标构成数列{x_n}，其中x₁=
11
7
．
（I）求x_n与x_n+1的关系式；
（II）令b_n=
1
xn-2
+
1
3
，求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

难度：较难

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=
an+1
2
-2^n-1，已知a₁=t，则下列说法正确的是
①数列{S_n+2ⁿ}是等比数列；
②当t≠-2时，数列{a_n}的通项公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1；
③若a_n+1≤a_n成立，则t的范围是t≤-
3
2
；
④若a_n+1≥a_n，则t的最小值是-2．

难度：较易

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