知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求满足（1-
1
T2
）（1-
1
T3
）…（1-
1
Tn
）＞
51
101
的最大正整数n的值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别是an=
an2+3
bn2-2n+2
，bn=b-a(
1
3
)n-1，其中a、b是实常数，若
lim
n→∞
an=3，
lim
n→∞
bn=-
1
4
，且a，b，c成等差数列，则c的值是．

难度：较易

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求Sn-n•2n+1+50＜0成立的正整数n的最小值．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+
1
n
，则a₄= ．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=-
1
2
，Sn=-
1
Sn-1+2
(n≥2)
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并证明你的结论．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₃+a₅=-4．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），
①证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
②求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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7．若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
an+λ
an+1
，（n∈N^*，λ＞0）．
（1）若数列{a_n}单调递减，求λ的取值范围；
（2）若λ=4，①求证：数列{|a_n-2|}单调递减；
②求证：1-（
2
3
）ⁿ≤
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
an+2
≤
n
3
（n∈N^*）

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足a₁=
1
5
，且当n≥2，有
an-1
an
=
2an-1+1
1-2an
．
（1）求证：数列 {
1
an
}为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=2ⁿ
（1）求证：{
an
2n-1
}是等差数列；
（2）若a₁=1，求a_n．

难度：中等

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10．设S_n为数列{a_n}前n项和，S₁=1且a_n=
2Sn2
2Sn-1
（n≥2）．
（1）证明：{
1
Sn
}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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