知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为T_n，
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+
1
2
＞T_n恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

难度：较易

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2．数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知函数f（x）对任意的x，y∈R均有f（x+y）=f（x）•f（y），f(1)=
1
2
．b_n=a_n•f（n），n∈N*，求f（n）的表达式并证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足
1
an
=
b1
2+1
-
b2
22+1
+
b3
23+1
-…+（-1）ⁿ⁺¹
bn
2n+1
，求数列{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设c_n=2ⁿ+λb_n，问是否存在实数λ使得数列{c_n}（n∈N^*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

难度：较难

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4．设{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，若{a_n}中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{a_n}是封闭数列．
（1）若a₁=2，q=3，判断{a_n}是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明{a_n}为封闭数列的充要条件是：存在整数m≥-1，使a₁=q^m；
（3）记Π_n是数列{a_n}的前n项之积，b_n=log₂Π_n，若首项a₁为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列{a_n}，使
lim
n→∞
(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)=
11
9
，若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

难度：较难

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5．我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_k+1=
1
1-ak
，k∈N*，b_n=
.
2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，d_n=
.
2(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

难度：较难

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6．已知数列，A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2，n∈N^*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a_k-a_k-1|=2或3，则称A_n为H数列．
（Ⅰ）写出满足a₅=5的所有H数列A₅；
（Ⅱ）写出一个满足a_5k（k=1，2，…，403）的H数列A₂₀₁₅的通项公式；
（Ⅲ）在H数列A₂₀₁₅中，记b_k=a_5k（k=1，2，…，403）．若数列{b_k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或-5．

难度：较难

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7．设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
kn+b
a1an+1
对任意的n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件a₁²+a_n+1²≤M，试求S_n的最大值．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}的首项a₁=4，前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=a_n^x+a_n-1x²+…+a₁xⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1），求数列{b_n}的通项公式，并研究其单调性．

难度：中等

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9．设函数f（x）=x²，过点C₁（1，0）作x轴的垂线l₁交函数f（x）图象于点A₁，以A₁为切点作函数f（x）图象的切线交x轴于点C₂，再过C₂作x轴的垂线l₂交函数f（x）图象于点A₂，…，以此类推得点A_n，记A_n的横坐标为a_n，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}为等比数列并求出通项公式；
（2）设直线l_n与函数g（x）=log
1
2
x的图象相交于点B_n，记b_n=
OAn
•
OBn
（其中O为坐标原点），求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，点P_n位于函数y=3x+
13
4
的图象上，且P_n的横坐标构成以-
5
2
为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线C_n的顶点为P_n且过点D_n（0，n²+1），记过点D_n且与抛物线C_n相切的直线
的斜率为k_n，求证：
1
k 1k2
+
1
k2k3
+…+
1
kn-1 kn
＜
1
10
．

难度：较难

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