知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知数列{a_n}满足a1=
3
2
，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
（1）若数列{b_n}满足bn=an-
1
2
，求证：{b_n}是等比数列；
（2）若数列{c_n}满足c_n=log₃a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：Tn＞
n(n-1)
2
．

难度：中等

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2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+
1
a4-a3
+…+
1
an+1-an
＜1．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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4．在数列{a_n}中，a₁=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公项；
（2）设cn=lo
g
(an-1)2
4
3
，数列{
1
cncn+2
}的前n项和为T_n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有T_n＜
m
16
成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知f（x）=x²-2（-1）^klnx的导函数为f′（x），其中k∈N⁺．
（1）当k为偶数时，数列{a_n}满足：a₁=1，2a_nf′（a_n）=a_n+1²-3，求数列{a_n²}的通项公式；
（2）当k为奇数时，数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=
2
f′(bn)
，令S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：
n
2
≤b₂S₁+b₃S₂+…+b_n+1S_n＜n+
1
2n
-1(n∈N+)．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=
1
4
（m-3x）在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1，数列{a_n}满足a_n+1=a_n+ln（p-a_n）（n∈N^*），a₁=lnp，求证：a_n+1≥a_n．

难度：较难

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7．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N^*，
bn-cn
an-12
≥0．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=（1-x）e^x，设Q₁（x₁，0），过P₁（x₁，f（x₁））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₂（x₂，0），再过P₂（x₂，f（x₂））作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q₃（x₃，0），…，依此下去，过P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函数y=f（x）的图象的切线与x轴交于点Q_n+1（x_n+1，0），…．若x₁=2，
（Ⅰ）试求出x₂的值并写出x_n+1与x_n的关系；
（ II）求证：n-1＜
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
≤n-
1
2
(n∈N*)．

难度：难

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9．已知函数f（x）=log₃（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（Ⅲ）对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，记为{b_n}，设T_n是数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a²_n-a_n+λ．
（I）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等比数列，若存在，求出λ的值；不存在，说明理由；
（Ⅱ）当λ=1时，证明：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜1．

难度：中等

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