知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知非零数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=a_n-2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{1+
1
an
}是等比数列；
（2）若关于n的不等式
1
n+log2(1+
1
a1
)
+
1
n+log2(1+
1
a2
)
+…+
1
n+log2(1+
1
an
)
＜m-3有解，求整数m的最小值；
（3）在数列{1+
1
an
-(-1)n}中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若
Sm
，
Sk
，
Sn
也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：
1
Sm
+
1
Sn
≥
2
Sk
．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an
2n
，T_n=b₁+b₂+…b_n，求证：T_n＜3．

难度：中等

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4．函数f(x)=
3x
2x+3
，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜
m-2003
2
对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

难度：较难

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5．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+
1
2
，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=
1
bnbn+1bn+2
，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=4a_n-4（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，T_n=
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
，求使T_n＞
λ
n+2
对任意n∈N⁺恒成立的实数λ的取值范围．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}中，a_n≠0，a₁=1．且a_n•a_n+1=2（a_n-a_n+1）
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）证明：对一切正整数n，有a₁+
a2
2
+
a3
3
…+
an
n
＜2成立．

难度：中等

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8．数列{a_n}中，a₁=1，（n-1）a_n-na_n-1=2n（n-1）（n≥2）．
（1）证明{
an
n
}是等差数列并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=
1
2
（n²+3n），数列{b_n}满足b_n=
1+
1
an2
+
1
an+12
，数列{b_n}的前n项和为T_n，M为正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}的前2015项的和T₂₀₁₅≥M，求M的最大值．

难度：中等

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若存在实数λ∈（1，+∞），使得
1
λ
a_n≤a_n+1≤λa_n与
1
λ
S_n≤S_n+1≤λS_n对任意n∈N^*都成立．则称{a_n}是“可控”数列．
（1）已知数列{a_n}的通项公式为a_n=r（r是不为0的常数），试判断{a_n}是否是“可控”数列，并说明理由；
（2）已知等比数列{a_n}的公比q≠1，若当λ=4时，若{a_n}是“可控”数列，求公比q的取值范围；
（3）已知等差数列{a_n}的公差d≠0，若{a_n}是“可控”数列，求λ的取值范围．

难度：较难

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